Что такое рациональная степень

27.10.202324.04.2022 admin 0 Comments

Степень с рациональным показателем

Мы уже знакомы с понятием степени с целым показателем. Давайте разберемся, что такое степень с рациональным показателем.

Рациональный показатель – это выражение вида \(\frac

\), где \(p\)-некоторое целое число, а \(q\) – натуральное число, причем \(q\ge2\).

Положительное число \(a\) в рациональной степени \(\frac

\) является арифметическим корнем степени \(q\) из числа \(a\) в степени \(p\):

Обращаем ваше внимание, что

Неважно в каком порядке – сначала извлечь корень или возвести в степень, от этого смысл выражения не теряется. Как удобнее, так и считайте.

Пусть есть некоторое положительное число \(a\) и целое число \(p\), тогда справедливы следующие соотношения:

где \(k\) и \(q\) – натуральные числа большие 1.

Давайте попробуем их доказать:

Из определения степени с рациональным показателем следует, что:

Опять из определения и свойства корня n-й степени следует:

Третья формула на наш взгляд очевидна, просто сократить степень справа и получите исходное выражение.

Свойства степени с рациональным показателем

Пусть \(a\) и \(b\) – некоторые положительные числа, а числа \(m\) и \(n\) – рациональные числа. Тогда выполняются соотношения:

При умножении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели степени складываются.

При делении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели степени вычитаются.

При возведении степени с рациональным показателем в степень с рациональным показателем их показатели перемножаются.

Степень с рациональным показателем от произведения двух положительных чисел равна произведению степеней этих множителей.

Степень с рациональным показателем от частного двух положительных чисел равна частному степеней этих чисел.

И еще два очень важных свойства степеней. Они вам понадобятся при решении показательных уравнений и неравенств.

Пусть опять есть некоторое положительное число \(a>1\) и рациональные числа \(n\) и \(m\).

При \(n \gt 0\) \(a^n \gt 1\),

При \(n \lt 0\) \(0 \lt a^n \lt 1\).

Если же \(a \gt 1\) и \(n \gt m\), то

Если \( 0 \lt a \lt 1 \) и \(n \gt m\), то

Разберем несколько примеров:

Так как основание степени больше единицы \(3 \gt 1\) и \(\frac<1> <3>\lt \frac<1><2>\).

Так как \(0 \lt \frac<1> <5>\lt 1\) и \(\frac<1> <3>\lt \frac<1><2>\)

Описание урока

От успешной сдачи государственного экзамена по математике зависит поступление в высшее учебное заведение. Степень с рациональным показателем – важная тема, изучение которой необходимо для успешной подготовки к ЕГЭ. От того, насколько хорошо она освоена, зависит в будущем, насколько легко будет решать уравнения и производить более сложные операции с числами. Задание номер 15 строится на умении работать с такими степенями. Чтобы понимать, о чём идёт речь, стоит ознакомиться с определением степени с рациональным показателем и её основными свойствами, которые пригодятся и при работе с функциями.

Важно запомнить, что число А не должно быть меньше 0, а число q не равно 1.

Свойства степени с рациональным показателем

Знание свойств степеней с показателем, равным рациональному числу, облегчает работу с уравнениями и функциями, где содержатся такие выражения. Внимательно их изучив, можно достаточно быстро выполнять задания, что немаловажно в процессе написания ЕГЭ.

Одно из основных свойств: произведение двух степеней с одинаковым основанием равно основанию в степени, равной сумме степеней двух множителей.

При делении степеней с рациональным показателем из показателя делимого вычитают показатель делителя. У степени с рациональным показателем есть и другие свойства, которые также присущи степени с обыкновенным показателем. Их легко запомнить, а чтобы примеры помогли внимательнее рассмотреть свойства, посмотрите видео, в котором о них рассказывается подробнее.

Источник

1.1.6 Степень с рациональным показателем и её свойства

Видеоурок 1: Степень с рациональным показателем

Видеоурок 2: Степень с рациональным показателем. Решение примеров

Лекция: Степень с рациональным показателем и её свойства

Степень с рациональным показателем

Любую степень с рациональным показателем можно представить в виде корня, чья степень будет равна знаменателю дроби, находящейся в показателе степени, а числитель будет степенью подкоренного выражения.

Свойства степени с рациональным показателем

Все, перечисленные ниже степени используются для рациональных чисел p, q и для положительных a, b.

1. Если Вам необходимо умножить две степени с рациональными показателями, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели сложить.

2. Если необходимо разделить две степени c рациональными показателями, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели вычесть.

3. Если необходимо возвести одну степень в другую, основанием результата останется то же число, а показатели степени перемножаются.

4. Если в некоторую степень необходимо возвести произведение произвольных чисел, то можно воспользоваться неким распределительным законом, при котором получим произведение различных оснований в одной и той же степени.

5. Аналогичное свойство можно применять для деления степеней, иначе говоря, для возведения обыкновенной двоби в степень.

6. Если некоторая дробь имеет отрицательный рациональный показатель степени, то для избавления от знака минуса, её следует перевернуть.

Очень важно помнить, что знак степени не влияет на знак выражения при возведении в степень.

Источник

Степень числа: определения, обозначение, примеры

В рамках этого материала мы разберем, что такое степень числа. Помимо основных определений мы сформулируем, что такое степени с натуральными, целыми, рациональными и иррациональными показателями. Как всегда, все понятия будут проиллюстрированы примерами задач.

Степени с натуральными показателями: понятие квадрата и куба числа

Сначала сформулируем базовое определение степени с натуральным показателем. Для этого нам понадобится вспомнить основные правила умножения. Заранее уточним, что в качестве основания будем пока брать действительное число (обозначим его буквой a ), а в качестве показателя – натуральное (обозначим буквой n ).

Разберем пример степени с натуральным показателем: для 5 7 пятерка будет основанием, а семерка – показателем.

Понятие степени является обратным другому математическому понятию – корню числа. Если мы знаем значение степени и показатель, мы можем вычислить ее основание. Степень обладает некоторыми специфическими свойствами, полезными для решения задач, которые мы разобрали в рамках отдельного материала.

Что такое степени с целым показателем

В показателях степени могут стоять не только натуральные числа, но и вообще любые целые значения, в том числе отрицательные и нули, ведь они тоже принадлежат к множеству целых чисел.

Степень числа с целым положительным показателем можно отобразить в виде формулы: .

При этом n – любое целое положительное число.

Разберемся с понятием нулевой степени. Для этого мы используем подход, учитывающий свойство частного для степеней с равными основаниями. Оно формулируется так:

Последнее условие важно, поскольку позволяет избежать деления на ноль. Если значения m и n равны, то мы получим следующий результат: a n : a n = a n − n = a 0

При желании легко проверить, что a 0 = 1 сходится со свойством степени ( a m ) n = a m · n при условии, что основание степени не равно нулю. Таким образом, степень любого отличного от нуля числа с нулевым показателем равна единице.

Такая формулировка подтверждает, что для степени с целым отрицательным показателем действительны все те же свойства, которыми обладает степень с натуральным показателем (при условии, что основание не равно нулю).

Проиллюстрируем нашу мысль конкретными примерами:

В последней части параграфа попробуем изобразить все сказанное наглядно в одной формуле:

Что такое степени с рациональным показателем

Мы разобрали случаи, когда в показателе степени стоит целое число. Однако возвести число в степень можно и тогда, когда в ее показателе стоит дробное число. Это называется степенью с рациональным показателем. В этом пункте мы докажем, что она обладает теми же свойствами, что и другие степени.

Далее нам необходимо определить, какие именно ограничения на значения переменных накладывает такое условие. Есть два подхода к решению этой проблемы.

Для степени с нулевым основанием это положение также подходит, но только в том случае, если ее показатель – положительное число.

Степень с нулевым основанием и дробным положительным показателем m / n можно выразить как

При отрицательном отношении m n 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Отметим один момент. Поскольку мы ввели условие, что a больше или равно нулю, то у нас оказались отброшены некоторые случаи.

Если n – нечетное число, а значение m – положительно, a – любое неотрицательное число, то a m n имеет смысл. Условие неотрицательного a нужно, поскольку корень четной степени из отрицательного числа не извлекают. Если же значение m положительно, то a может быть и отрицательным, и нулевым, т.к. корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа.

Объединим все данные выше определения в одной записи:

Здесь m/n означает несократимую дробь, m – любое целое число, а n – любое натуральное число.

Определение степени с дробным показателем, которое мы привели первым, удобнее применять на практике, чем второе, поэтому мы будем далее пользоваться именно им.

При вычислении же лучше заменять показатель степени обыкновенной дробью и далее пользоваться определением степени с дробным показателем. Для примеров выше у нас получится:

Что такое степени с иррациональным и действительным показателем

Что такое действительные числа? В их множество входят как рациональные, так и иррациональные числа. Поэтому для того, чтобы понять, что такое степень с действительным показателем, нам надо определить степени с рациональными и иррациональными показателями. Про рациональные мы уже упоминали выше. Разберемся с иррациональными показателями пошагово.

и так далее (при этом сами приближения являются рациональными числами).

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №17. Степень с рациональным и действительным показателем.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

2) определение степени с рациональным и действительным показателем;

3) нахождения значения степени с действительным показателем.

Если n- натуральное число, , m— целое число и частное является целым числом, то при справедливо равенство:

При любом действительном х и любом положительном а ) степень является положительным числом:

Но если основание степени а=0, то степень определяют только при и считают, что

При выражение не имеет смысла.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Пример: вычислим

Мы можем представить , тогда

Таким образом, мы можем записать

или

На основании данного примера можно сделать вывод:

Если n- натуральное число, , m— целое число и частное является целым числом, то при 0 справедливо равенство:

Таким образом, степень определена для любого рационального показателя r и любого положительного основания а.

Если , то выражение имеет смысл не только при 0, но и при а=0, причем, Поэтому считают, что при r0 выполняется равенство

Пользуясь формулой степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот.

Рассмотрим несколько примеров:

Отметим, что все свойства степени с натуральным показателем, которые мы с вами повторили, верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием, а именно, для любых рациональных чисел p и q и любых 0 и 0 ы следующие равенства:

Разберем несколько примеров, воспользовавшись данными свойствами:

В числителе вынесем общий множитель ab за скобки, в знаменателе представим корни в виде дробных показателей степени:

А теперь дадим определение степени с действительным показателем, на примере .

Пусть последовательность десятичных приближений с недостатком :

Эта последовательность стремится к числу , т.е.

Числа являются рациональными, и для них определены степени т.е. определена последовательность

Можно сделать вывод, что данная последовательность стремится к некоторому действительному числу, которое обозначают , т.е. .

Опредление степени с действительным показателем.

При любом действительном х и любом положительном а ) степень является положительным числом:

Но если основание степени а=0, то степень определяют только при и считают, что

При выражение не имеет смысла.

Для степени с действительным показателем сохраняются все известные свойства степени с рациональным показателем, из которых следует теорема.

Теорема. Пусть и . Тогда .

По условию . Поэтому, по свойству 1 имеем
а^(х₂). Умножив обе части этого равенства на положительное число , получим . По свойству умножения степеней получаем: , т.е. .