Что такое рациональные дроби в алгебре 8 класс
Что такое рациональные дроби в алгебре 8 класс
В курсе алгебры 7 класса мы занимались преобразованиями целых выражений, т. е. выражений, составленных из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля. Так, целыми являются выражения
В отличие от них выражения
помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными. Такие выражения называют дробными выражениями.
Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.
Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, так как для нахождения значения целого выражения нужно выполнить действия, которые всегда возможны.
Дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла. Например, выражение не имеет смысла
при а = 0. При всех остальных значениях а это выражение имеет
смысл. Выражение имеет смысл при тех значениях х и у, x ≠ y.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.
Выражение вида называется, как известно, дробью.
Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют рациональной дробью.
Примерами рациональных дробей служат дроби
В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.
Пример 1. Найдем допустимые значения переменной в дроби
Это уравнение имеет два корня: 0 и 9. Следовательно, допустимыми значениями переменной а являются все числа, кроме 0 и 9.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда a = 0 и b ≠ 0.
2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей
Мы знаем, что для обыкновенных дробей выполняется следующее свойство: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится. Иначе говоря, при любых натуральных значениях а, b и с верно paвенство
Докажем, что это равенство верно не только при натуральных, но и при любых других значениях а, b и с, при которых знаменатель отличен от нуля, т. е. при b ≠ О и с ≠ О.
Пусть Тогда по определению частного а = bm. Умножим обе части этого равенства на с :
На основании сочетательного и переместительного свойств умножения имеем:
Так как bс ≠ 0, то по определению частного
Мы показали, что для любых числовых значений переменных b и с, где b ≠ О и с ≠ 0, верно равенство
Равенство (1) сохраняет силу и в том случае, когда под буквами а, b и с понимают многочлены, причем b и с — ненулевые многочлены, т. е. многочлены, не равные тождественно нулю.
Равенство (1) выражает основное свойство рациональной дроби:
если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.
Это равенство верно при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства будем называть тождествами. Ранее тождествами мы называли равенства, верные при всех значениях переменных. Теперь мы расширяем понятие тождества.
Определение. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.
Основное свойство рациональной дроби позволяет выполнять приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дробей. Приведем примеры.
Пример 1. Приведем дробь к знаменателю
Множитель называют дополнительным множителем к числителю и знаменателю дроби
Пример 2. Приведем дробь к знаменателю
Для этого числитель и знаменатель данной дроби умножим на -1:
если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному.
Пример 3. Сократим дробь
Разложим числитель и знаменатель дроби на множители:
Сократим полученную дробь на общий множитель a + 3:
Пример 4. Построим график функции
Графиком функции является прямая, а графиком функции но с «выколотой» точкой (4 ; 4) (рис. 1.)
Математика
Урок 1: Рациональные дроби и их свойства. Основное свойство дроби. Сокращение дробей
Рациональные дроби и их свойства. Основное свойство дроби. Сокращение дробей.
Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.
Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, так как для нахождения значения целого выражения нужно выполнить действия, которые всегда возможны.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.
Выражение вида a b называется, как известно, дробью.
Дробь, числитель и знаменатель которой – многочлены, называют рациональной дробью.
В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.
Это уравнение имеет два корня: 0 и 9. Следовательно, допустимыми значениями переменной а являются все числа, кроме 0 и 9.
Дробь a b равна нулю тогда и только тогда, когда a = 0 и b ≠ 0.
Докажем, что это равенство верно не только при натуральных, но и при любых других значениях а, b и с, при которых знаменатель отличен от нуля, т.е. при b ≠ 0 и с ≠ 0.
На основании сочетательного и переместительного свойств умножения имеем:
Так как bс ≠ 0, то по определению частного
Мы показали, что для любых числовых значений переменных b и с, где b ≠ 0 и с ≠ 0, верно равенство a b = ac bc .
Равенство сохраняет силу и в том случае, когда под буквами а, b и с понимают многочлены, причем b и с — ненулевые многочлены, т. е. многочлены, не равные тождественно нулю.
Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.
Это равенство верно при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства будем называть тождествами. Ранее тождествами мы называли равенства, верные при всех значениях переменных. Теперь мы расширяем понятие тождества.
Определение. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.
Основное свойство рациональной дроби позволяет выполнять приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дробей. Приведем примеры.
2 x 7 y = 2 x · 5 y 2 7 y ∙ 5 y 2 = 10 x y 2 35 y 3
Если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному.
ПОНЯТИЕ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ 8 класс (алгебра)
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Понятие рациональной дроби
Цели: ввести понятия «дробное выражение» и «рациональная дробь»; формировать умение находить значения рациональных дробей при заданных значениях переменных.
I. Организационный момент.
– Назовите дробь, соответствующую данному частному:
III. Объяснение нового материала.
Объяснение проводить согласно пункту учебника, обращая внимание на усвоение учащимися основных понятий. Для контроля предложить учащимся задание на распознавание различных рациональных выражений.
З а д а н и е. Какие из следующих рациональных выражений являются целыми, а какие – дробными?
а) 
; д) 
;
б) 
; е) 
;
в) 
; ж) 
;
г) 
; з) 
.
– Какие из дробных выражений являются рациональными дробями?
З а м е ч а н и е. Вопрос о допустимых значениях переменных, входящих в рациональное выражение, целесообразно подробно изучить на следующем уроке.
IV. Формирование умений и навыков.
При вычислениях необходимо следить, чтобы учащиеся грамотно и подробно выполняли все записи.
О б р а з е ц о ф о р м л е н и я:
; а = –3, b = –1.
1,5.
В случаях затруднения учащихся при выполнении этих заданий нужно напомнить им, что для выражения переменной из формулы достаточно рассматривать эту переменную как неизвестную величину.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какое выражение называется целым? дробным?
– Как называются целые и дробные выражения?
– Что такое рациональная дробь?
– Всякая ли рациональная дробь является дробным выражением? Приведите примеры.
– Как найти значение рациональной дроби при заданных значениях входящих в неё переменных?
Домашнее задание: № 2, № 5 (б), № 6, № 7 (б).
Презентация по алгебре на тему «Рациональные дроби» (8 класс)
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Рациональные дроби АЛГЕБРА 8 класс
По этому учебнику мы будем изучать алгебру в 8 классе «Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит» М.В. Ломоносов
№1. Разделите данные выражения на две группы Целые выражения Дробные выражения Какие из данных выражений являются рациональными дробями?
Целыми называются выражения, составленные из чисел и переменных, которые связаны между собой с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля. Дробными называются выражения, которые содержат деление на выражение, содержащее переменные величины. Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями. Рациональной (алгебраической) дробью называется дробь, числитель и знаменатель которой составлены из многочленов.
№6. При каких значениях переменной имеет смысл выражение: y≠0 X≠-9 m1≠3 m2≠-3 x1≠3 x2≠-3 x1≠8 x2≠1 x1≠-2 x2≠10
Допустимыми значениями переменных, входящих в рациональное выражение, называют все значения переменных, при которых это выражение имеет смысл. Назовите допустимые значения переменной: Все числа, кроме y=0 Все числа, кроме X=-9 Все числа, кроме x1=8, x2=1 Все числа, кроме x1=-2, x2=10
Домашнее задание §1, вопросы 1-6 № 4, 6, 8 2. Дополнительно: № 21, 22.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-668322
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Школьники из Москвы выступят на Международной олимпиаде мегаполисов
Время чтения: 3 минуты
Во Франции планируют ввести уголовное наказание за буллинг в школе
Время чтения: 1 минута
Более 50 российских школ перешли на дистанционку из-за коронавируса
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Рациональные дроби. 8 класс
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Рациональные дроби. Тест 8 класс
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ 1 3 2 4
1.Какое из данных выражений является целым? №2 решение 4 3 2 1 1 И 5 1,2,4 и 5 все Другой ответ
1.Какое из данных выражений является целым? Целыми выражениями являются: 1,2,4 и 5 в них нет деления на переменную. Ответ: 2
2.При каких значениях х дробь имеет смысл? №3 решение 4 3 2 1 Другой ответ
2.При каких значениях х дробь имеет смысл? При любом х Ответ: 2
3.Сократите дробь №4 решение 1 2 3 4 Другой ответ
3.Сократите дробь Ответ: 1
4.Представьте в виде дроби со знаменателем №5 решение 4 1 2 3 Другой ответ
4.Представьте в виде дроби со знаменателем Ответ: 4
5.Выполните вычитание №6 решение 4 3 2 1 Другой ответ
5.Выполните вычитание Ответ: 4
6. Представьте выражение в виде дроби. №7 решение 1 3 2 4 Другой ответ
6. Представьте выражение в виде дроби. Ответ: 1
7. Упростите выражение №8 решение 3 4 2 1 Другой ответ
7. Упростите выражение Ответ: 2
8. Упростите выражение №9 решение 3 4 2 1 Другой ответ
8. Упростите выражение Ответ: 2
9. При каком р точка А(0,2;-6) принадлежит графику обратной пропорциональности №10 решение 4 3 2 1 Другой ответ
9. При каком р точка А(0,2;-6) принадлежит графику обратной пропорциональности х=0,2, у=-6 Подставим х и у в уравнение Получим: Ответ:1
10. Выберите рисунок, наиболее точно соответствующий графику функции 1 2 3 4
10. Выберите рисунок, наиболее точно соответствующий графику функции Гипербола, ветви которой расположены в 1 и 3 четвертях, т.к. 2>0 Следовательно это 1 график Ответ: 1 В начало
2-вариант 1.Какое из данных выражений является дробным? 1 2 3 4 2 И 3 3 все Другой ответ
2.При каких значениях у дробь не имеет смысла? 4 3 2 1 При всех Другой ответ
3.Сократите дробь 4 3 2 1 Другой ответ
4.Представьте в виде дроби со знаменателем 3 4 2 1 Другой ответ
5.Выполните вычитание 1 2 3 4 Другой ответ
6. Представьте выражение в виде дроби. 4 3 2 1 Другой ответ
7. Упростите выражение 4 2 3 1 Другой ответ
8. Упростите выражение 1 2 3 4 Другой ответ
9. При каком k точка D(-0,4;-6) принадлежит графику обратной пропорциональности 2 3 4 1 Другой ответ
10. Выберите рисунок, наиболее точно соответствующий графику функции 1 2 3 4
3-вариант 1.Какое из данных выражений является целым? 1 2 3 4 1 и 3 Ни одного все Другой ответ
2.При каких значениях х дробь имеет смысл? 1 2 3 4 Другой ответ
3.Сократите дробь 1 2 3 4 Другой ответ
4.Представьте в виде дроби со знаменателем 1 2 3 4 Другой ответ
5.Выполните вычитание 1 2 3 4 Другой ответ
6. Представьте выражение в виде дроби. 1 2 3 4 Другой ответ
7. Упростите выражение 1 2 3 4 Другой ответ
8. Упростите выражение 1 2 3 4 Другой ответ
9. При каком с точка С(1,3;-5) принадлежит графику обратной пропорциональности 1 2 3 4 Другой ответ
10. Выберите рисунок, наиболее точно соответствующий графику функции 1 2 3 4
3-вариант ответы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 4 1 4 1 2 2 2 1
4-вариант 1.Какое из данных выражений является дробным? 1 2 3 4 1,2,4 и 5 3 все Другой ответ
2.При каких значениях х дробь не имеет смысл? 1 2 3 4 Ни при каких Другой ответ
3.Сократите дробь 1 2 3 4 Другой ответ
4.Представьте в виде дроби со знаменателем 1 2 3 4 Другой ответ
5.Выполните вычитание 1 2 3 4 Другой ответ
6. Представьте выражение в виде дроби. 1 2 3 4 Другой ответ
7. Упростите выражение 1 2 3 4 Другой ответ
8. Упростите выражение 1 2 3 4 Другой ответ
9. При каком с точка А(-3,2;-5) принадлежит графику обратной пропорциональности 1 2 3 4 Другой ответ
10. Выберите рисунок, наиболее точно соответствующий графику функции 1 2 3 4
4-вариант ответы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 3 4 1 3 3 4 4
Использованная литература Тесты. Математика. 5-11 кл.-М.:ООО «Агенство «КРПА Олимп»»: ООО «Издательство АСТ»,2002г Составители сборника: Максимовская М.А., Пчелинцев Ф.А., Уединов А.Б., Чулков П.В http://open.az/engine/print.php?newsid=76168&news_page=1 http://www.liveinternet.ru/users/4311407/
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-654496
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Исследования вакцины для детей младше 12 лет начнутся с 2022 года
Время чтения: 1 минута
В России планируют создавать пространства для подростков
Время чтения: 2 минуты
Россияне чаще американцев читают детям страшные и печальные книжки
Время чтения: 1 минута
ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.