Что такое союзная матрица

Обратная матрица

Содержание

Обратимость в алгебре [ править ]

[math]xz=e, \ x[/math] — левый обратный

[math]zy=e, \ y[/math] — правый обратный.

Факт 2. Пусть [math]\exists z^<-1>, \ \tilde^<-1>[/math]

Критерий обратимости матрицы [ править ]

Предположим [math]\exists C: CA=E \Rightarrow \sum\limits_^ \gamma_^\alpha_^=\delta_^[/math]

Свойства обратной матрицы [ править ]

Методы нахождения обратной матрицы [ править ]

Метод Гаусса для нахождения обратной матрицы [ править ]

Пример [ править ]

Найдем обратную матрицу для матрицы

Метод присоединенной матрицы [ править ]

Определение:
Присоединенная(союзная, взаимная) матрица — матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов исходной матрицы.

Алгебраическим дополнением элемента [math]\ a_[/math] матрицы [math]\ A[/math] называется число

[math]M_ = det\begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1(j-1)>& a_ <1(j+1)>& \cdots & a_ <1n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ <(i-1)1>& a_ <(i-1)2>& \cdots & a_ <(i-1)(j-1)>& a_ <(i-1)(j+1)>& \cdots & a_ <(i-1)n>\\ a_ <(i+1)1>& a_ <(i+1)2>& \cdots & a_ <(i+1)(j-1)>& a_ <(i+1)(j+1)>& \cdots & a_ <(i+1)n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \end[/math]

Источник

Нахождение обратной матрицы

Обратную матрицу можно найти с помощью двух ниже описанных методов.

Нахождение обратной матрицы с помощью присоединённой матрицы

Если к квадратной матрице дописать справа единичную матрицу того же порядка и с помощью элементарных преобразований над строками добиться того, чтобы начальная матрица, стоящая в левой части, стала единичной, то полученная справа будет обратной к исходной.

Решение. Приписываем к заданной матрице Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрицасправа единичную матрицу второго порядка:

От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):

От второй строки отнимаем две первых:

Первую и вторую строки меняем местами:

От второй строки отнимаем две первых:

Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:

Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.

Если на некотором этапе в «левой» матрице получается нулевая строка, то это означает, что исходная матрица обратной не имеет.

Облегченный способ для матрицы второго порядка

Для матрицы второго порядка можно немного облегчить нахождение обратной, используя следующий алгоритм:

Шаг 2. Элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный.

Нахождение обратной матрицы не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Нахождение обратной матрицы с помощью союзной матрицы

Таким образом, матрица имеет союзную тогда и только тогда, когда она невырожденная.

Решение. Вычисляем определитель матрицы:

Источник

Алгоритм вычисления обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений: метод присоединённой (союзной) матрицы.

Невырожденная матрица – матрица, определитель которой не равен нулю. Соответственно, вырожденная матрица – та, у которой равен нулю определитель.

Есть несколько способов нахождения обратной матрицы, и мы рассмотрим два из них. На этой странице будет рассмотрен метод присоединённой матрицы, который полагается стандартным в большинстве курсов высшей математики. Второй способ нахождения обратной матрицы (метод элементарных преобразований), который предполагает использование метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана, рассмотрен во второй части.

Метод присоединённой (союзной) матрицы

Если решение происходит вручную, то первый способ хорош лишь для матриц сравнительно небольших порядков: второго (пример №2), третьего (пример №3), четвертого (пример №4). Чтобы найти обратную матрицу для матрицы высшего порядка, используются иные методы. Например, метод Гаусса, который рассмотрен во второй части.

Итак, обратная матрица найдена:

$$A^<-1>=\left( \begin -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end\right).$$

Составляем матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем её:

Для матрицы четвёртого порядка нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений несколько затруднительно. Однако такие примеры в контрольных работах встречаются.

Например, для первой строки получим:

А далее продолжаем находить алгебраические дополнения:

Матрица из алгебраических дополнений:

Проверка, при желании, может быть произведена так же, как и в предыдущих примерах.

Во второй части будет рассмотрен иной способ нахождения обратной матрицы, который предполагает использование преобразований метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Источник

Нахождение обратной матрицы: три алгоритма и примеры

Что значит найти обратную матрицу?

При решении примеров мы разберём эти действия подробнее. А пока узнаем, что гласит теория об обратной матрице.

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Обратной матрицей, которую требуется отыскать для данной квадратной матрицы А, называется такая матрица

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица,

произведение на которую матрицы А справа является единичной матрицей, т.е,
Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица. (1)

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице.

Для особо любознательных существуют и другие методы, например, метод линейных преобразований. На этом уроке разберём три упомянутых метода и алгоритмы нахождения обратной матрицы этими методами.

Теорема. Для каждой неособенной (невырожденной, несингулярной) квадратной матрицы можно найти обратную матрицу, и притом только одну. Для особенной (вырожденной, сингулярной) квадратной матрицы обратная матрица не существует.

Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной, несингулярной), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной, сингулярной), если её определитель равен нулю.

Обратная матрица может быть найдена только для квадратной матрицы. Естественно, обратная матрица также будет квадратной и того же порядка, что и данная матрица. Матрица, для которой может быть найдена обратная матрица, называется обратимой матрицей.

На сайте есть онлайн калькулятор для нахождения обратной матрицы. Вы можете открыть его в новом окне уже сейчас, если держите перед собой ваши собственные задания. А мы разберём несколько разминочных.

Нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений (союзной матрицы)

Для неособенной квадратной матрицы А обратной является матрица

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица, (2)

где Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица— определитель матрицы А, а Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица— матрица, союзная с матрицей А.

Пусть существует квадратная матрица A:

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Остановимся на минорах и алгебраических дополнениях.

Пусть есть квадратная матрица третьего порядка:

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица.

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Вычислим алгебраическое дополнение элемента Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица, то есть элемента 2, стоящего на пересечении первой строки и второго столбца.

Для этого нужно сначала найти минор этого элемента. Он получается вычёркиванием из определителя строки и столбца, на пересечении которых стоит указанный элемент. В результате останется следующий определитель, который и является минором элемента Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица:

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица.

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица.

По этой инструкции нужно вычислить алгебраические дополнения всех элементов матрицы A’, транспонированной относительно матрицы матрица A.

И последнее из значимых для нахождение обратной матрицы понятий. Союзной с квадратной матрицей A называется матрица Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрицатого же порядка, элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя матрицы Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица, транспонированной относительно матрицы A. Таким образом, союзная матрица состоит из следующих элементов:

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом алгебраических дополнений

1. Найти определитель данной матрицы A. Если определитель равен нулю, нахождение обратной матрицы прекращается, так как матрица вырожденная и обратная для неё не существует.

2. Найти матрицу, транспонированную относительно A.

3. Вычислить элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения марицы, найденной на шаге 2.

4. Применить формулу (2): умножить число, обратное определителю матрицы A, на союзную матрицу, найденную на шаге 4.

5. Проверить полученный на шаге 4 результат, умножив данную матрицу A на обратную матрицу. Если произведение этих матриц равно единичной матрицы, значит обратная матрица была найдена верно. В противном случае начать процесс решения снова.

Пример 1. Для матрицы

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

найти обратную матрицу.

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Следовательно, матрица А – неособенная (невырожденная, несингулярная) и для неё существует обратная.

Найдём матрицу, союзную с данной матрицей А.

Найдём матрицу Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица, транспонированную относительно матрицы A:

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Вычисляем элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения матрицы, транспонированной относительно матрицы A:

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Следовательно, матрица Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица, союзная с матрицей A, имеет вид

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Замечание. Порядок вычисления элементов и транспонирования матрицы может быть иным. Можно сначала вычислить алгебраические дополнения матрицы A, а затем транспонировать матрицу алгебраических дополнений. В результате должны получиться те же элементы союзной матрицы.

Применяя формулу (2), находим матрицу, обратную матрице А:

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Нахождение обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица,

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрицаи Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса

1. К матрице A приписать единичную матрицу того же порядка.

2. Полученную сдвоенную матрицу преобразовать так, чтобы в левой её части получилась единичная матрица, тогда в правой части на месте единичной матрицы автоматически получится обратная матрица. Матрица A в левой части преобразуется в единичную матрицу путём элементарных преобразований матрицы.

2. Если в процессе преобразования матрицы A в единичную матрицу в какой-либо строке или в каком-либо столбце окажутся только нули, то определитель матрицы равен нулю, и, следовательно, матрица A будет вырожденной, и она не имеет обратной матрицы. В этом случае дальнейшее нахождение обратной матрицы прекращается.

Пример 2. Для матрицы

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

найти обратную матрицу.

Решение. Составляем сдвоенную матрицу

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

и будем её преобразовывать, так чтобы в левой части получилась единичная матрица. Начинаем преобразования.

Умножим первую строку левой и правой матрицы на (-3) и сложим её со второй строкой, а затем умножим первую строку на (-4) и сложим её с третьей строкой, тогда получим

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица.

Чтобы по возможности не было дробных чисел при последующих преобразованиях, создадим предварительно единицу во второй строке в левой части сдвоенной матрицы. Для этого умножим вторую строку на 2 и вычтем из неё третью строку, тогда получим

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица.

Сложим первую строку со второй, а затем умножим вторую строку на (-9) и сложим её с третьей строкой. Тогда получим

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица.

Разделим третью строку на 8, тогда

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица.

Умножим третью строку на 2 и сложим её со второй строкой. Получается:

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица.

Переставим местами вторую и третью строку, тогда окончательно получим:

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица.

Видим, что в левой части получилась единичная матрица, следовательно, в правой части получилась обратная матрица Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица. Таким образом:

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица.

Можно проверить правильность вычислений, умножим исходную матрицу на найденную обратную матрицу:

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица.

В результате должна получиться обратная матрица.

Пример 3. Для матрицы

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

найти обратную матрицу.

Решение. Составляем сдвоенную матрицу

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

и будем её преобразовывать.

Первую строку умножаем на 3, а вторую на 2, и вычитаем из второй, а затем первую строку умножаем на 5, а третью на 2 и вычитаем из третьей строки, тогда получим

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица.

Первую строку умножаем на 2 и складываем её со второй, а затем из третьей строки вычитаем вторую, тогда получим

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица.

Видим, что в третьей строке в левой части все элементы получились равными нулю. Следовательно, матрица вырожденная и обратной матрицы не имеет. Дальнейшее нахождение обратной марицы прекращаем.

Нахождение обратной матрицы методом линейных преобразований

Матрицы теснейшим образом связаны с системами линейных уравнений. Каждой матрице соответствует система линейных уравнений, коэффициенты в которой есть элементы матрицы. И наоборот, системе линейных уравнений соответствует некоторая матрица.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом линейных преобразований

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица,

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица,

3. Находим коэффициенты при y: Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица, которые и будут элементами матрицы, обратной для матрицы A.

4. Пользуясь элементами, найденными на шаге 3, записать найденную обратную матрицу.

Пример 4. Найти обратную матрицу для матрицы

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица.

Сначала проверим, не равен ли нулю определитель данной матрицы. Он не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует.

Для данной матрицы записываем линейное преобразование:

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица.

Находим линейное преобразование, обратное предыдущему, для этого потребуется находить алгебраические дополнения (урок откроется в новом окне). Запишем обратное линейное преобразование:

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Найти обратную матрицу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Найти обратную матрицу для матрицы

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица.

Источник

Союзная (присоединенная) матрица

матрица, составленная из алгебраических дополнений для элементов исходной матрицы.

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Элементарные преобразования матриц

1. умножение строки или столбца матрицы на ненулевое число;

2. перестановка местами двух строк или столбцов матрицы;

3. прибавление к некоторой строке матрицы другой ее строки, предварительно умноженной на произвольный коэффициент;

4. прибавление к некоторому столбцу матрицы другого ее столбца, предварительно умноженного на произвольный коэффициент.

Ранг матрицы.

1)Умножение строки(столбца на числ, отличное от нуля.

2)Прибавление к одной строке(столбцу) другой, умножение на любое число.

3)Перемена местами двух строк(столбцов)

4)Вычёркивание нулевой строки

Базисные строки и столбцы

Столбцы и строки, на которых расположены элементы базисного минора

14.Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрицаТеорема Кронекера – Капели Теорема Кронекера — Капе́лли —Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Метод Крамера

При небольшой размерности системы m (m = 2,…,5) на практике часто используют формулы Крамера для решения СЛАУ:

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица(i = 1, 2, …, m). Эти формулы позволяют находить неизвестные в виде дробей, знаменателем которых является определитель матрицы системы, а числителем – определители матриц Ai, полученных из A заменой столбца коэффициентов при вычисляемом неизвестном столбцом свободных членов. Так А1 получается из матрицы А заменой первого столбца на столбец правых частей f.

Метод Гаусса

Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

16. Метод обратной матрицы решения систем алгебраических уравнений Если det A ≠ 0, то существует обратная матрица Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица. Тогда решение СЛАУ записывается в виде: Что такое союзная матрица. Смотреть фото Что такое союзная матрица. Смотреть картинку Что такое союзная матрица. Картинка про Что такое союзная матрица. Фото Что такое союзная матрица. Следовательно, решение СЛАУ свелось к умножению известной обратной матрицы на вектор правых частей. Таким образом, задача решения СЛАУ и задача нахождения обратной матрицы связаны между собой, поэтому часто решение СЛАУ называют задачей обращения матрицы. Проблемы использования этого метода те же, что и при использовании метода Крамера: нахождение обратной матрицы – трудоемкая операция.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *