Что такое свойство арифметических действий

Свойства арифметических действий

Действия

Действие – процесс в математике, в котором по двум данным числам с помощью правила определяют третье число.

Арифметические действия – действия сложения, вычитания, умножения и деления.

В равенстве a + b = c числа a и b называют слагаемыми, число c и запись a + b – суммой.

В равенстве a – b = c число a называют уменьшаемым, число b – вычитаемым, число c и запись a – b – разностью.

В равенстве a • b = c числа а и b называют множителями, а число с и запись а • b – произведением.

В равенстве a : b = с число a называют делимым, число b – делителем, число c и запись a : b – частным.

Свойства

Арифметические действия обладают следующими свойствами.

Переместительное свойство сложения – от перестановки слагаемых сумма не меняется:

Сочетательное свойство сложения – чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел:

Переместительное свойство умножения – от перестановки множителей произведение не меняется:

Сочетательное свойство умножения – чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел:

Распределительное свойство умножения относительно сложения – чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить:

a * (b + c) = a * b + a * c.

Примеры

Вычислим, используя переместительное, а затем сочетательное свойства умножения:

25 • 867 • 4
Используем переместительное, 25 • 867 • 4 = 867 • (25 • 4) = 867 • 100 = 86 700.

329 • 754 + 329 • 246
Имеем: a • b + a • c = a • (b + c).
Тогда: 329 • 754 + 329 • 246 = 329 • (754 + 246) = 329 • 1000 = 329 000.

125 • 24 • 283
Решение. 125 • 24 • 283 = 125 • 8 • 3 • 283 = (125 • 8) • (3 • 283) = 1000 • 849 = 849 000.

Источник

Свойства умножения

1. Переместительный (коммуникативный) закон умножения: а · b = b · а.

От перемены мест множителей произведение не меняется.

Пример:

2. Сочетательный (ассоциативный) закон умножения: а · b · c = а · (b · c).

Произведение не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих множителей заменить их произведением.

Пример: 39 · 25 · 4 = 39 · (25 · 4) = 39 · 100 = 3900.

3. Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения: (а + b + c) · d = аd + bd + cd.

Произведение суммы нескольких чисел на какое-нибудь число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число.

Пример: (150 + 75 + 12) · 4 = 150 · 4 + 75 · 4 + 12 · 4 = 600 + 300 + 48 = 948.

Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе.

Пример:

5. а · 1 = 1 · а = а.

При умножении числа на единицу получаем само число.

Пример:

6. а · 0 = 0 · а = 0.

При умножении числа на нуль получаем нуль.

Пример: 6999 · 0 = 0 · 6999 = 0.

Примечание. Если в произведении нескольких множителей хотя бы один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.

Источник

Свойства сложения и вычитания

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Свойства сложения

Сложение — это арифметическое действие, в котором единицы двух чисел объединяются в одно новое число

Для записи сложения используют знак «+» (плюс), который ставят между слагаемыми.

Слагаемые — это числа, единицы которых складываются.

Сумма — это число, которое получается в результате сложения.

Рассмотрим пример 2 + 5 = 7, в котором:

При этом саму запись (2 + 5) можно тоже назвать суммой.

Сложение двух чисел можно проверить вычитанием. Для этого вычитаем из суммы одно из слагаемых. Если разность окажется равной другому слагаемому — сложение выполнено верно.

Впервые мы сталкиваемся со свойствами сложения во 2 классе. С каждым годом задания усложняются, и появляются новые правила и законы. Рассмотрим свойства сложения для 4 класса.

Свойства вычитания

Вычитание— это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего.

Для записи вычитания используется знак «-» (минус), который ставится между уменьшаемым и вычитаемым.

Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.

Вычитаемое — это число, которое вычитают.

Разность — это число, которое получается в результате вычитания.

Примеры использования свойств сложения и вычитания

Мы узнали основные свойства сложения и вычитания — осталось попрактиковаться. Чтобы ничего не забыть, используйте эту шпаргалку:

Пример 1

Вычислить сумму слагаемых с использованием разных свойств:

а) 4 + 3 + 8 = (4 + 3) + 8 = 7 + 8 = 15

б) 9 + 11 + 2 = (9 + 2) + 11 = 11 + 11 = 22

в) 30 + 0 + 13 = 30 + 13 = 43

Пример 2

Применить разные свойства при вычислении разности:

Пример 3

Найти значение выражения удобным способом:

а) 11 + 10 + 3 + 9 = (11 + 10) + (3 + 9) = 21 + 11 = 32

Источник

Урок математики на тему «Свойства арифметических действий. Рациональные вычисления»

Сидоркина Анна Владимировна

Учитель начальных классов

ГУ «Средняя школа № 1 г. Есиль»

Урок математики « Свойства арифметических действий. Рациональные вычисления. »

Закрепить навыки применения свойств арифметических действий с числами в пределах 1 000 000. Развивать навыки рациональных вычислений.

Развивать математическую речь, логическое мышление, наблюдательность, внимание, интерес к предмету, навыки самостоятельной работы и творческие способности учащихся.

Воспитывать умение работать самостоятельно, в парах, в группах, воспитывать умение вести диалог, оказывать взаимопомощь.

Учащиеся знают свойства арифметических действий.

Умеют применять приемы рациональных вычислений.

Понимают важность взаимопомощи, умение работать в группах, парах.

I . Организационный момент. 1 мин.

Посадка. Проверка готовности.

II . Психологический настрой. 2 мин.

Игра «Я желаю тебе сегодня…»

III . Математический диктант. 5 мин.

1. Увеличите число 263 в 10 000 раз.
2. Найдите частное от 9000 и 20.
3. Найдите сумму чисел 7100 и 2900. Уменьшите сумму в 1000 раз.
4. Найдите произведение чисел 350 и 50.
5. Найдите 2/3 от суммы чисел 160 и 440.
6. Сколько сантиметров в 8 метрах и 3 дм?

— Проверьте правильность выполненного задания.

— Кто выполнил правильно?

— Кто допустил ошибки? Почему?

— Что общего у этих заданий?

Обменяйтесь тетрадями в паре. ( взаимопроверка )

Все задания выполнены верно – 10 баллов.

Допущены 1-2 ошибки – 8 баллов

Допущены 3 ошибки – 5 баллов.

Допущены 4 ошибки – 3 балла.

Только одно верное задание – 1 балл.

1. Работа в паре. 5 мин.

Обсудите, как удобнее произвести вычисление. Найдите результат записывая решение столбиком.

324 000 + 272 000 + 128 000 + 276 000

— Какой получили результат? (1 000 000)

— Какое арифметическое действие использовали? (сложение)

— Как быстро найти результат? (применить сочетательное свойство сложения)

— Можно назвать этот способ рациональным? (да)

Применено сочетательное свойство сложения – 10 баллов.

Действия выполнены по порядку – 5 баллов.

Еще раз внимательно посмотрите на задание и попробуйте определить тему нашего урока. Тема урока «Свойства арифметических действий. Рациональные приемы вычисления чисел в пределах 1 000 000.

Поставьте задачи на сегодняшний урок.

2. Работа в группе. (Учащиеся первых парт поворачиваются к учащимся за вторыми партами. Учащиеся третьих парт 1 и 2 рядов подходят к учащимся третий парты второго ряда.) 12 мин.

1 группа: вспомнить и записать на листе А4 свойства сложения;

2 группа: свойства вычитания;

3 группа: свойства умножения;

4 группа: свойства деления.

Проверка правильности выполнения задания.

Учитель вывешивает на доску таблицу свойств арифметических действий.

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Сумма не меняется, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой.

Вычитание суммы из числа: a – (b + c) = a – b – c.

Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа одно слагаемое, из полученной разности – второе слагаемое.

Вычитание числа из суммы: (a + b) – c = (a – c) + b = a + (b – c).

Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть это число из какого-нибудь одного слагаемого и полученную разность прибавить к сумме остальных слагаемых.

Чтобы прибавить разность к числу, можно прибавить к нему уменьшаемое и из полученной суммы вычесть вычитаемое.

Переместительное свойство умножения: а · b = b · а.

От перемены мест множителей произведение не меняется

Сочетательное свойство умножения: а · b · c = а · (b · c).

Произведение не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих множителей заменить их произведением.

Распределительное свойство умножения относительно сложения: (а + b) · с = ас + bс.

Произведение суммы чисел на какое-нибудь число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число

а · 1 = 1 · а = а.

При умножении числа на единицу получаем само число.

а · 0 = 0 · а = 0.

При умножении числа на нуль получаем нуль.

При делении числа на единицу получаем само число.

0 : a = 0.

При делении нуля на любое число, не равное нулю, получаем нуль.

На нуль делить нельзя!

a : a = 1.

При делении числа, не равного нулю, на само себя, получаем единицу.

Деление суммы на число: (a + b) : c = a : c + b : c.

Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно (если это возможно) и полученные частные сложить.

Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно (если это возможно) и из первого частного вычесть второе.

Деление произведения на число: (a · b) : c = (a : c) · b = a · (b : c).

Чтобы разделить произведение двух множителей на число, можно разделить на это число любой из множителей (если деление выполнимо) и частное умножить на второй множитель.

Я вспомнил все свойства – 5 баллов.

Я вспомнил лишь некоторые свойства – 2 балла.

3. Работа со свойствами арифметических действий. 10 мин.

Выполнить задание индивидуально. Свериться в паре. Свериться в группе. При несовпадении ответов объяснить в группе последовательность выполнения действий.

(66 000 х 9) : 600 = (66 000 : 60) х 9 = 110 х 9 = 990

(54 500 + 7 500) : 5= 54 500 : 5 + 7 500 : 5 = 10 900 + 1500 = 12 400

390 х 250 х 40 = 390 х (250 х 40) = 390 х 10 000 = 3 900 000

(750 + 120) х 4 = 750 х 4 + 120 х 4 = 3000 + 480 = 3 480

197 + 2300 + 7700 = 197 + (2300 + 7700) = 197 + 10000 = 10 197

Проверка по таблице ответов.

Оба примера выполнены верно – 10 баллов.

Один пример – 5 баллов.
4. Решение задачи. 6 мин.

Решите задачу используя распределительное свойство умножения.

Два поезда одновременно выехали навстречу друг другу из двух населенных пунктов. Скорость первого поезда 85 км/ч, а второго – 65 км/ч. Через 4 часа они встретились. Каково расстояние между населенными пунктами, из которых выехали поезда?

85 км/ч 4ч 65 км/ч

(85 + 65) х 4 = 85 х 4 + 65 х 4 = 340 + 260 = 600 (км)

Ответ: 600 км расстояние между населенными пунктами.

V . Итог урока 2 мин.

Давайте вспомним какие цели мы перед собой ставили?

Удалось нам достичь поставленных целей?

Подсчитайте баллы, накопленные за урок. Выставляем отметки.

Наибольшее количество баллов за урок – 45

Д/ з. Составить по одному примеру на каждое из арифметических свойств.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Скоростное чтение

Курс повышения квалификации

Актуальные вопросы теории и методики преподавания в начальной школе в соответствии с ФГОС НОО

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-028291

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Минтруд представил проект программ переобучения безработных на 2022 год

Время чтения: 2 минуты

В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников

Время чтения: 1 минута

Совфед отклонил закон о верифицированных онлайн-платформах и учебниках

Время чтения: 2 минуты

В Москве новогодние каникулы в школах могут начаться с 27 декабря

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Сочетай, перемещай, свойства действий

Как найти значение выражения используя свойства арифметических действий?

Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.

Свойства сложения

Переместительный закон сложения

Пример:
3 + 8 = 8 + 3; 5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:

a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.

Сочетательный закон сложения

Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.

Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:

Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа

Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …

Свойство сложения разности чисел

Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.

Свойство вычитания разности из числа

Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.

Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.

Свойства умножения

Переместительный закон умножения

Сочетательный закон умножения

Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.

Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.

Умножение числа на произведение чисел

Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.

Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = <[(a·b)•c]•d>…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.

Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.

Умножение числа на сумму чисел

Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.

В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.

Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …

Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.

Распределительный закон умножения для разности чисел

Распределительный закон можно применять и к разности.

Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;

7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.

Вообще:
(а — b)с = ас — bc,

а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.

Свойства деления

Деление суммы на число

Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:

Деление разности на число

Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:

Деление произведения на число

Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:

(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:

(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.

Деление числа на произведение

Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:

120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.

а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.

Укажем еще следующее свойство деления:

Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3

Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b

Источник

• ← Что такое острый вульвит у ребенка
• Что такое система образов →