Что такое вещественные числа

26.10.202314.04.2022 admin 0 Comments

Содержание:

Действительные числа

В основе применения математических методов при решении практических задач лежат вычисления и измерения. При счете используются натуральные числа. При делении целого на части натуральных чисел недостаточно. Поэтому вводятся дробные числа. Длину отрезка можно выразить с помощью рационального числа с любой точностью. В теоретических вычислениях приходится рассматривать отрезки, длины которых не выражаются с помощью рациональных чисел. По этой причине вводится понятие иррационального числа. Изменение значений величины в противоположном направлении удобнее показать отрицательными числами.

Действительные числа

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. Для любого действительного числа

Для любых действительных чисел и верно только одно из соотношений: На числовой оси число, соответствующее точке, расположенной правее, больше числа, соответствующего точке, расположенной левее. Между двумя действительными числами существует бесконечное число действительных чисел. Наибольшее целое число, не превосходящее данное число, называется целой частью этого числа.

Абсолютная величина действительного числа показывает расстояние на числовой оси от точки, соответствующей этому числу, до начала отсчета.

Расстояние между двумя точками числовой оси равно абсолютной величине разности их координат и то есть, Обратите внимание на то, что

Действительные (вещественные числа)

Комплексные числа. Однако не успело ещё закрепиться новое расширенное понятие числа, как в процессе развития математики обнаружилось, что и новое понятие является также неудовлетворительным. В частности, решение квадратных уравнений уже на самой ранней ступени развития алгебры привело в области действительных чисел операции извлечения корня из отрицательного числа. Выяснилось, что среди действительных чисел нет ни одного такого, квадрат которого был бы величиной отрицательной, следовательно, и корень

квадратный из отрицательной величины не может быть выражен никаким действительным числом.

Абсолютная величина действительного числа

Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х (обозначается |х|) называется неотрицательное действительное число,
удовлетворяющее условиям:

Свойства абсолютных величин:

4. Пусть — положительное число, тогда неравенства и равносильны.

5. Для любых двух действительных чисел справедливы неравенства

6. Для любых двух действительных чисел справедливы неравенства
7.

Постоянные и переменные величины

Постоянной величиной называется величина, численные значения которой не меняются.

Величина с одним и тем же названием может быть постоянной (скорость равномерного движения) или переменной (скорость равномерно ускоренного движения).

Величины, которые сохраняют своё значение в любом явлении, называются абсолютными постоянными, например число

Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения.

Совокупность всех числовых значений переменной величины называется областью изменения этой величины.

Промежутком или открытым интервалом (а,b) называется совокупность всех чисел х, заключенных между данными числами причем сами эти числа не принадлежат рассматриваемой совокупности чисел

Отрезком или закрытым интервалом называется совокупность всех чисел х, заключенных между данными числами причем оба эти числа принадлежат рассматриваемой совокупности чисел

Естественным образом определяются полуоткрытые интервалы, т.е. промежутки, открытые с одной стороны. Например: или

Определения интервалов можно сформулировать, используя вместо понятия «число» понятие «точка».

Окрестностью данной точки называется произвольный интервал содержащий эту точку внутри себя.

Действительные числа

Число является одной из основных математических абстракций, изучению которой может быть посвящен самостоятельный курс. Из многих концепций построения множества действительных чисел приведем аксиоматическую.

Определение 1.17. Множество R называется множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными (действительными) числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:

1. Аксиомы сложения

(a) x + y = y + x, ∀x, y ∈ (коммутативность сложения);
(b) в существует нейтральный элемент, называемый нулем, обозначаемый 0, такой, что x + 0 = x, ∀x ∈ ;
(c) для любого элемента x ∈ в существует элемент, называемый противоположным к x, обозначаемый (-x), такой, что x + (-x) = 0;
(d) x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ (ассоциативность сложения).

2. Аксиомы умножения

(a) x ∙ y = y ∙ x, ∀x,y ∈ (коммутативность умножения);
(b) в \ <0>существует нейтральный элемент, называемый единицей, обозначаемый 1, такой, что 1 ∙ x = x, ∀x ∈ ;
(c) для любого элемента x ∈ \ <0>существует в \ <0>обратный элемент, обозначаемый 1/x или x-1, такой, что x ∙ (1/x) = 1;
(d) x ∙ (y ∙ z) = (x ∙ y) ∙ z, ∀x,y,z ∈ (дистрибутивность умножения). Операции сложения и умножения связаны условием:
(e) (x + y) ∙ z = x ∙ z + y ∙ z, ∀x,y., z ∈ (дистрибутивность умножения по отношению к сложению).

Множество, на котором определены обе операции, и которые удовлетворяют группам аксиом 1 и 2, называется алгебраическим полем.

(Часто знак операции умножения в математических выражениях опускают и вместо x ∙ y пишут xy.)

3. Аксиомы порядка

Для любых элементов x, y ∈ определено отношение , то есть либо x y, либо y x. При этом выполняются условия:
(a) x x, ∀x ∈ ;
(b) если x, y ∈ таковы, что x y и y x, то x = y;
(c) если x, y, z ∈ таковы, что x y и y z, то x z (транзитивность);
(d) если x, y, z ∈ и x y, то x + z y + z;
(e) если x,y ∈ и 0 x, 0 6 y, то 0 x ∙ y.

Отношение называют отношением неравенства и читают: «не превосходит» или «меньше или равно». Множество, между элементами которого имеется отношение , удовлетворяющее аксиомам 3, называется упорядоченным. Поэтому множество является упорядоченным алгебраическим полем.

4. Аксиома полноты (непрерывности)

Если X и Y — непустые подмножества множества , обладающие тем свойством, что для любых элементов x ∈ X и y ∈ Y выполняется неравенство x y, то существует такое число c, что

x c y, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.

Эту аксиому часто называют принципом отделимости.

Можно доказать, что во введенном множестве R имеют место все, известные из школьного курса математики, свойства чисел. Желающие могут получить их самостоятельно или изучить соответствующий раздел в книгах [2] или [6].

Важнейшие подмножества действительных чисел

Определение 1.18. Множество X ⊂ называется множеством натуральных чисел, а его элементы — натуральными числами, если X — наименьшее числовое множество, которое содержит единицу и вместе с каждым элементом x содержит элемент x + 1.

Множество натуральных чисел обозначают через , а его произвольный элемент — через n. Число 1 + 1 ∈ обозначают символом 2 и называют двойкой, число 2 + 1 обозначают символом 3 и называют тройкой и так далее. Можно доказать, что

0 1 2 ∙∙∙ nn + 1 . и = <1, 2. n,n + 1. >.

Прямым следствием определения 1.18 является принцип математической индукции.
Если подмножество E множества натуральных чисел таково, что 1 ∈ E и вместе с числом x ∈ E множеству E принадлежит x + 1, то E = .

Иллюстрируя этот принцип в действии, докажем с его помощью формулу, называемую формулой бинома Ньютона:

(1.1)
В этой формуле a, b — произвольные действительные числа, n — произвольное натуральное число,

Пусть E — множество тех натуральных чисел n, для которых справедлива формула (1.1). При , что соответствует формуле (1.1). Поэтому n = 1 ∈ E.

Но и при k = 1,2,3. n,

Таким образом, n + 1 ∈ E и, следовательно, E = .

Определение 1.19. Множество, состоящее из всех натуральных чисел, им противоположных и нуля называют множеством целых чисел и обозначают символом Z.

Определение 1.20. Множество | m ∈ , n ∈ > называют множеством рациональных чисел и обозначают через . Элемент множества называют рациональным числом.

Можно доказать, что (например, можно доказать, что в не существует числа s такого, что s ∙ s = 2).

Определение 1.21. Действительные числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными.

Часто полезна «геометрическая терминология в которой множество называют числовой прямой, его элементы — точками числовой прямой.

Пусть a, b ∈ и a b, то есть a b и a b. Введем следующие обозначения и названия для перечисленных ниже числовых множеств:

[a, b] := | a x y> — отрезок ab (или сегмент ab);
(a, b) := | a x b> — интервал ab;
(a, b] := | a x b> — полуинтервал ab, содержащий b;
[a, b) := | a x b> — полуинтервал ab, содержащий a.

В этих обозначениях часто пишут: = (-∞, +∞).

Действительные числа

Определение действительного числа по Дедекинду

Одним из основных понятий, изучаемых в курсе математического анализа, является понятие действительного числа. Оно возникает в школьном курсе элементарной алгебры фактически на интуитивном уровне как развитие понятия о числе — от натуральных чисел к целым, от целых к рациональным, от рациональных к действительным. В нашу задачу не входит сейчас аккуратное выведение этой цепочки из основных представлений о натуральных числах и их свойствах. Будем считать, что понятие рационального числа и основные свойства рациональных чисел, а также другие вопросы школьного курса элементарной алгебры (в частности, основная символика теории множеств) хорошо известны. Напомним, что множество натуральных чисел обозначается N, множество целых чисел — Z. множество рациональных чисел — Q.

При переходе к действительным числам (множество которых обозначается R) возникает качественно новое понятие непрерывности, присущее именно математическому анализу Поэтому этот шаг будет разобран подробно и аккуратно.

Определение 1.1. Сечением а множества рациональных чисел Q называется такое разбиение Q на два непустых множества , что для всех выполняется неравенство х 2 = 2.

Легко видеть, что в примере 1) в нижнем классе А есть наибольший элемент в верхнем классе А’ нет наименьшего элемента. В примере 2) в A нет наибольшего элемента, в А’ есть наименьший. В примере 3) в A нет наибольшего элемента, в А’ нет наименьшего.

Докажем, например, что в примере 3) в A нет наибольшего элемента (значком □ будем обозначать начало доказательства, значком ■ — конец доказательства).

□ Доказательство от противного. Пусть в А есть наибольший элемент г. Тогда г > 0, г 2 2 2, что заведомо выполняется при т.е. при Для таких n число : это противоречит тому, что г — наибольший элемент в А. Значит, в А нет наибольшего элемента. ■

Докажем теперь, что невозможен случай, когда в А есть наибольший элемент, в А’ есть наименьший.

□ Пусть существуют — соответственно наибольший и наименьший элементы в этих классах. Выберем рациональное число такое, что (например, . Так как , то , так как , то — это невозможно, так как любое рациональное число принадлежит либо А, либо А’.

Итак, существуют сечения трёх типов.

I. В нижнем классе есть наибольший элемент, в верхнем нет наименьшего.

II. В нижнем классе нет наибольшего элемента, в верхнем есть наименьший.

III. В нижнем классе нет наибольшего элемента, в верхнем нет наименьшего.

Определение 1.2. Иррациональным числом называется сечением III типа.

В случаях I и II говорят, что сечение производится рациональным числом (соответствующим наибольшему элементу в нижнем классе или наименьшему в верхнем). Сечения I и II типов отождествляются с соответствующими рациональными числами. Чтобы соответствие было взаимно однозначным, сечения типа I в дальнейшем не рассматриваются.

Например, сечение в примере 1) мы не будем рассматривать. Сечение в примере 2) — это рациональное число 1. Сечение в примере 3) — это иррациональное число (которое естественно объявить корнем квадратным из 2, не придавая пока этому термину строгого смысла).

Определение 1.3. Действительным (вещественным) числом называется любое сечение II или III типов. Множество действительных чисел обозначается R. Сечения II типа отождествляются с соответствующими рациональными числами.

У сечений, соответствующих действительным числам, в нижнем классе нет наибольшего элемента. Если в верхнем классе есть наименьший элемент — сечение является рациональным числом, если нет — иррациональным.

Определение 1.4. Два действительных числа называются равными, если А = В, А’ = В’ (совпадают как множества, достаточно требовать только А = В).

Определение 1.5. Рассмотрим два неравных действительных числа . Говорят, что , если (т.е. ) , если (т.е. ; включения множеств считаются строгими.

Символ > читается «больше», символ М.

Запишем окончательно на языке кванторов, что означает неограниченность множества X сверху:

Наблюдая преобразование (1.1) в (1.2), мы можем сформулировать формальное правило построения отрицаний в позитивном смысле:

1) кванторы меняются друг на друга, т.е. превращается в превращается в ;

2)высказывания, стоящие при кванторах, не меняются;

3)существенные высказывания, не стоящие при кванторах, меняются на противоположные.

Пример 1.2. Множество N натуральных чисел ограничено снизу , но не является ограниченным сверху — принцип Архимеда).

Определение 1.8. Действительное число л называется точной верхней гранью множества , если это число является верхней границей множества X, а никакое меньшее число не является верхней границей X.

На языке кванторов это описывается как конъюнкция (т.е. одновременное выполнение) двух высказываний:

Логический символ («и») означает одновременное выполнение двух высказываний.

Точная верхняя грань обозначается sup («supremum»):

Определение 1.9. Действительное число называется точной нижней гранью множества , если это число является нижней границей множества X, а никакое большее число не является нижней границей X.

На языке кванторов записывается конъюнкция двух высказываний:

Точная нижняя грань обозначается inf («infimum»):

Из определений следует, что sup X — это наименьшая из верхних границ множества X, a inf X — это наибольшая из нижних границ. Пока ниоткуда не следует, что эти наименьшая из верхних и наибольшая из нижних границ существуют. Дело в том, что ограниченное сверху множество может иметь наибольший элемент, а может и не иметь; ограниченное снизу множество может иметь наименьший элемент, а может и не иметь.

Лемма 1.2. Если множество имеет наибольший элемент а, то а = sup X. Если множество имеет наименьший элемент , то

□ Доказательство приведём для наибольшего элемента, вторая часть доказывается аналогично.

Так как а — наибольший элемент X, то для всех выполнено неравенство . С другой стороны, какое бы число мы ни взяли, число л является элементом множества, и ; значит, для любого найдётся элемент X, больший а’. Доказано, что а = supX. ■

Но может быть и так, что во множестве нет наибольшего (наименьшего) элемента, а точная верхняя (нижняя) грань существует. В этом случае говорят, что точная верхняя (нижняя) грань не достигается.

Пример 1.3. Пусть —множество всех чисел вида . Очевидно, наибольшим элементом множества является число 1; по лемме 1.2 supX = 1 (точная верхняя грань множества достигается).

С другой стороны, ясно, что при всех выполняется неравенство ; множество ограничено снизу, но наименьшего элемента в нём нет. Докажем, что inf X = 0 (таким образом, точная нижняя грань не достигается).

□ В самом деле, для всех выполняется неравенство Но какое бы число мы ни взяли, найдутся рациональное число г такое, что (теорема 1.2), и натуральное число п такое, что т.е. (свойства неравенств между рациональными числами мы считаем известными). Поэтому . Итак, для любого найдётся число такое, что . Доказано, что inf X = 0. ■

Теорема 1.5 (о точной верхней (нижней) грани). Для любого непустого множества действительных чисел, ограниченного сверху, существует и единственна точная верхняя грань. Для любого непустого множества действительных чисел, ограниченного снизу, существует и единственна точная нижняя грань.

□ Доказательство проведём для точной верхней грани, вторая часть доказывается аналогично (отметим, что пустое множество формально является ограниченным сверху и снизу, но говорить о точных верхней и нижней гранях бессмысленно).

Пусть сначала ограниченное сверху множество имеет наибольший элемент. Тогда по лемме 1.2 этот элемент является точной верхней гранью.

Пусть теперь в X нет наибольшего элемента. Проведём сечение во множестве К так, что А’ — это все верхние границы X (они существуют в силу ограниченности X сверху), а — все остальные числа. Ясно, что , для любых выполняется неравенство (ясно, что , но если , то число х больше некоторой верхней границы, значит, х — тоже верхняя граница, а это не так). При этом (если какой-то элемент X является верхней границей, то он наибольший в X, а мы рассматриваем случай, когда наибольшего элемента нет).

По теореме Дедекинда существует действительное число a либо наибольшее в , либо наименьшее в . Но если a — наибольшее число в , то, так как — верхняя граница для X, т.е. — противоречие. Значит, a — наименьшее число в (наименьшая из верхних границ). Итак, а — верхняя граница X, а никакое меньшее число верхней границей не является, т.е. a = supX.

Докажем теперь, что точная верхняя грань единственна. Пусть a = supX и = supX. a 0, a inf X = 0.

Определение 1.10. Если множество неограничено сверху, то по определению supX = . Если множество неограничено снизу, то по определению inf X = .

Представление действительных чисел бесконечными десятичными дробями

Пусть действительное число а не является целым числом или конечной десятичной дробью. Рассмотрим соответствующее сечение во множестве рациональных чисел (в нижнем классе А нет наибольшего элемента).

Обозначим через со наибольшее целое число в А. Тогда — наименьшее целое число в А’. Так как а не целое, то . Разобьём отрезок на 10 отрезков равной длины и выберем из них тот, который содержит число

(a не совпадает с концом отрезка, так как не является конечной десятичной дробью).

Снова разбиваем полученный отрезок на 10 отрезков равной длины 0,01 и т.д., на n-м шагу получим

Естественно, что если с_n = 9, то при переходе к правому концу отрезка предыдущую цифру нужно увеличить на 1, а вместо с_n + 1 написать 0. Если , то при переходе к правому концу отрезка нужно увеличить на 1, и вместо написать нули.

Так как а не является конечной десятичной дробью, то процесс никогда не оборвётся, и мы получим бесконечную последовательность цифр Бесконечную десятичную дробь можно считать представлением действительного числа а.

Например, для числа :

Описанная выше конструкция даст следующие интервалы:

Левый конец соответствующего интервала длины обычно называют десятичным приближением n-го порядка числа a с недостатком, правый конец — десятичным приближением n-го порядка числа а с избытком; применяются обозначения соответственно . Например:

Бесконечная десятичная дробь является представлением числа .

Интересно отмстить, что в такой конструкции для числа и т.д. Поэтому = и т.д.;

Представлением числа является бесконечная десятичная дробь

Легко видеть, что для любого

причем

Особое значение имеет случай, когда а — конечная десятичная дробь с n знаками после запятой:

или целое число:

Случай целого a можно рассматривать как частный случай конечной десятичной дроби при n = 0.

В описанной выше конструкции после n-го шага процесс оборвётся. Число ft будет являться общим концом двух отрезков длины Если a рассматривается как левый коней, правого из двух возникших отрезков, то получим уже привычную десятичную дробь:

(для иллюстрации общности процесса мы дополнили её бесконечной последовательностью нулей). Если же a рассматривать как правый конец левого из двух возникших отрезков, то а представляется как бесконечная дробь, в которой начиная с (n + 1)-го места после запятой идут девятки:

Таким образом, конечная десятичная дробь имеет два десятичных представления (с нулями, начиная с некоторого места, и с девятками, начиная с некоторого места). Например:

В любом случае при

причём

Докажем теперь очень важную лемму, которая неоднократно будет использоваться в дальнейшем в теории действительных чисел.

Лемма 1.4. Пусть a —действительное число. Тогда для любого рационального положительного числа s найдутся paциональные числа такие, что

Иными словами, любое действительное число может быть зажато между двумя сколь угодно близкими рациональными числами.

□ Если a — рациональное число, то возьмём Ясно, что Если а — иррациональное число, то, во всяком случае, л не является конечной десятичной дробью, и

Поэтому можно взять (неравенство при любом натуральном n легко доказывается, например, по индукции). По принципу Архимеда для любого положительного рационального числа найдётся натуральное число значит,

Мы видели, что любое действительное число представляется бесконечной десятичной дробью. Это представление единственно, если действительное число не является целым или конечной десятичной дробью, в противном случае таких представлений два. Докажем обратное утверждение.

Теорема 1.6. Любая бесконечная десятичная дробь является представлением некоторого действительного числа, причем это число определяется единственным образом.

□ Пусть — бесконечная десятичная дробь . Рассмотрим при , рациональные числа и — приближения для данной дроби с недостатком и с избытком соответственно. Ясно, что для всех выполняется неравенство , поэтому

Пусть теперь Тогда

Применяя формулу суммы членов геометрической прогрессии, получим

поэтому . Итак, при любых натуральных значениях m и n выполняется неравенство .

Рассмотрим множества рациональных чисел

При фиксированном выполняется неравенство для любого натурального n, поэтому множество А ограничено сверху, и по лемме 1.3 его точная верхняя грань

Аналогично, при фиксированном выполняется неравенство для любого натурального n, поэтому множество В ограничено снизу, и по лемме 1.3 его точная нижняя грань

Из леммы 1.3 и последнего неравенства, верного при всех , следует, что . Итак, при всех имеют место неравенства и при ( — произвольное положительное рациональное число). По лемме 1.1 а = . Так как при , то данная бесконечная десятичная дробь является представлением числа а.

Единственность искомого действительного числа следует из леммы 1.1. В самом деле, если два числа являются представлениями одной и той же бесконечной десятичной дроби, то из неравенств (где — произвольное положительное рациональное число) следует, что

Арифметические операции с действительными числами

Нам предстоит определить для действительных чисел арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) так, чтобы сохранялись привычные свойства этих операций, а для рациональных чисел результаты операций не отличались от обычных.

Пусть — два действительных числа. Будем рассматривать всевозможные рациональные числа удовлетворяющие неравенствам

Определение 1.11. Суммой действительных чисел называется действительное число такое, что для любых рациональных чисел удовлетворяющих неравенствам (1.5), выполняется неравенство

Докажем корректность этого определения. Иными словами, докажем, что такое действительное число существует, определено единственным образом, а в случае рациональных построенное таким образом число совпадает с суммой рациональных чисел .

□ I) Существование. Рассмотрим множество всевозможных сумм <а + b>в условиях (1.5). Оно ограничено сверху некоторой суммой Рассмотрим число в условиях (1.5).

Тогда при выполнении условий (1.5) . Но так как при фиксированных в условиях (1.5) выполняется неравенство для любых a, b в условиях (1.5), то по лемме 1.3, . Итак, в условиях (1.5) . Исключим равенства. Пусть найдутся a, b такие, что . Но по теореме 1.2 найдутся рациональные числа такие, что . Значит, , что противоречит определению как sup в условиях (1.5). Значит, . Аналогично показывается, что Построенное число удовлетворяет условиям (1.6).