Что такое внутренняя область многоугольника

Геометрическая фигура многоугольник

Многоугольником называется геометрическая фигура, которая со всех сторон ограничена замкнутой ломаной линией. При этом количество звеньев ломаной не должно быть меньше трех. Каждая пара отрезков ломаной имеет общую точку и образует углы. Количество углов совместно с количеством отрезков ломаной являются основными характеристиками многоугольника. В каждом многоугольнике количество звеньев ограничивающей замкнутой ломаной совпадает с количеством углов.

Сторонами в геометрии принято называть звенья ломаной линии, которая ограничивает геометрический объект. Вершинами называют точки соприкосновения двух соседних сторон, по количеству которых получают свои названия многоугольники.

Если замкнутая ломаная состоит из трех отрезков, она носит название треугольника; соответственно, из четырех отрезков — четырехугольником, из пяти — пятиугольником и пр.

Для обозначения треугольника или четырехугольника пользуются заглавными латинскими буквами, обозначающими его вершины. Буквы называют по порядку — по часовой стрелке или против нее.

Основные понятия

Описывая определение многоугольника, следует учитывать некоторые смежные геометрические понятия:

Как уже упоминалось выше, названия многоугольных геометрических строятся исходя из количества вершин. Если у фигуры их количество равняется n, она носит название n-угольника:

Любой выпуклый n-угольник можно поделить на треугольники. При этом количество треугольников бывает меньше количества сторон на 2.

Виды фигур

Треугольник

Это многоугольник с тремя вершинами и тремя отрезками, соединяющими их. При этом точки соединения отрезков не лежат на одной прямой.

Точки соединения отрезков — это вершины треугольника. Сами отрезки называются сторонами треугольника. Общая сумма внутренних углов каждого треугольника равняется 180°.

По соотношениям между сторонами все треугольники можно подразделять на несколько видов:

Кроме того, принято различать следующие треугольники:

Четырехугольник

Четырехугольником называется плоская фигура, имеющая 4 вершины и 4 отрезка, которые их последовательно соединяют.

На одной прямой не может находиться сразу три вершины четырехугольника.

Видео

Дополнительную информацию о многоугольниках вы найдете в этом видео.

» width=»560″ height=»314″ allowfullscreen=»allowfullscreen»>

Источник

Многоугольник

Определение 1. Многоугольник − замкнутая ломаная линия.

Объединение многоугольника и ограниченной им части плоскости также называют многоугольником. Поэтому представим другое определение многоугольника:

Определение 2. Многоугольник − это геометрическая фигура, которая является частю плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника. Звенья ломаной называются сторонами многоугольника.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью многоугольника, а другая внешней областью многоугольника.

Виды многоугольников

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четыремя вершинами − четырехугольником, с пяти вершинами − пятиугольником, и т.д. Многоугольник с \( \small n \) вершинами называется \( \small n- \)угольником.

На рисунке 1 представлены различные виды многоугольников.

Обозначение многоугольника

Обозначают многоугольник буквами, стоящих при его вершинах. Называют многоугольник чередовав буквы при его вершинах по часовой стрелке или против часовой стрелки. Например, многоугольник на рисунке 2 называют \( \small A_1A_2A_3A_4A_5A_6 \) или \( \small A_6A_5A_4A_3A_2A_1 \).

Соседние вершины многоугольника

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.

На рисунке 2 вершины \( \small A_2 \) и \( \small A_3 \) являются соседними, так как они являются концами стороны \( \small A_2A_3. \)

Смежные стороны многоугольника

Стороны многоугольника называются смежными, если они имеют общую вершину.

На рисунке 2 стороны \( \small A_4A_5 \) и \( \small A_5A_6 \) являются смежными, так как они имеют общую вершину \( \small A_5. \)

Простой многоугольник. Самопересекающийся многоугольник

Многоугольник называется простым, если его несмежные стороны не имеют общих точек (внутренних или концевых).

На рисунке 3 изображен простой многоугольник так как стороны многоугольника не имеют самопересечений. А на рисунке 4 многоугольник не является простым, так как стороны \( \small A_1A_4 \) и \( \small A_2A_3 \) пересекаются. Такой многоугольник называется самопересекающийся многоугольник.

Выпуклый многоугольник

Многоугольник называется выпуклым, если она лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любую его сторону.

На рисунке 5 многоугольник лежит по одну сторону от прямых \( \small m, \ n, \ l, \ p, \ q, \ r\) проходящих через стороны многоугольника.

На рисунке 6 прямая \( \small m\) делит многоугольник на две части, т.е. многоугольник не лежит по одну сторону от прямой \( \small m\). Следовательно многоугольник не является выпуклым.

Правильный многоугольник

Простой многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Например равносторонний треугольник является правильным многоугольником, поскольку все его стороны равны, и все его углы равны 60°. Квадрат является правильным многоугольником, так как все его стороны равны и все его углы равны 90°.

На рисунке 7 изображен правильный многоугольник (пятиугольник), так как у данного многоугольника все стороны равны и все углы равны. Многоугольник (ромб) на на рисунке 8 не является правильным, так как все стороны многоугольника равны, но все углы многоугольника не равны друг другу. Прямоугольник также не является правильным многоугольником, так как несмотря на то, что все углы прямоугольника равны, но все четыре стороны прямоугольника не равны друг другу.

Звездчатый многоугольник

Самопересекающийся многоугольник, все стороны которого равны и все углы равны, называется звездчатым или звездчато-правильным.

На рисунке 9 представлен звездчатый пятиугольник поскольку все углы \( \small A_1, \ A_2, \ A_3, \ A_4, \ A_5 \) равны и равны все стороны: \( \small A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=A_5A_1. \)

Периметр многоугольника

Сумма всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника. Для многоугольника \( \small A_1A_2. A_A_n \) периметр вычисляется из формулы:

Угол многоугольника

Углом (внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами многоугольника, сходящимися к этой вершине. Если многоугольник выпуклый, то все углы многоугольника меньше 180°. Если же многоугольник невыпуклый, то он имеет внутренний угол больше 180° (угол \( \small A_3 \) на рисунке 2).

Внешний угол многоугольника

Внешним углом многоугольника при данной вершине называется угол смежный внутреннему углу многоугольника при данной вершине.

На рисунке 10 угол 1 является внешним углом данного многоугольника при вершине \( \small E. \)

Диагональ многоугольника. Количество диагоналей

Диагоналями называют отрезки, соединяющие две несоседние вершины многоугольника.

Выведем форулу вычисления количества диагоналей многоугольника. Пусть задан \( \small n \)-угольник. Выберем одну вершину многоугольника и проведем мысленно все отрезки, соединяющие эту вершину с остальными вершинами. Получим \( \small n-1 \) отрезков. Но поскольку две вершины для выбранной вершины являются соседними, а по определнию диагональ − это отрезок соединяющий несоседние вершины, то из \( \small n-1 \) вычтем 2. Получим \( \small n-3 \). Всего \( \small n \) вершин. Следовательно количество вычисленных диагоналей будет \( \small n(n-3). \) Учитывая, что каждый диагональ − это отрезок соединяющий две вершины, то получится, что мы вычислили каждый диагональ дважды. Поэтому полученное число нужно делить на два. Получим количество диагоналей \( \small n- \)мерного многоугольника:

Сумма углов выпуклого многоугольника

Выведем формулу вычисления суммы углов выпуклого многоугольника. Для этого проведем из вершины \( \small A_1 \) все диагноали многоугольника \( \small A_1A_2. A_A_n \) (Рис.11):

Количество диагоналей, проведенной из одной вершиы, как выяснили из предыдующего параграфа равно \( \small n-3 \). Следовательно, эти диагонали разделяют многоугольник на \( \small n-3+1=n-2 \) треугольников. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то получим, что сумма углов выпуклого многоугольника равна: \( \small 180°(n-2). \)

где \( \small n \) −количество сторон (вершин) выпуклого многоугольника.

Угол правильного многоугольника

Поскольку у правильного многоугольника все углы равны, то используя формулу (1) получим угол правильного многоугольника:

где \( \small n \) −количество сторон (вершин) правильного многоугольника.

Источник

Определение многоугольника и его элементов

Определение многоугольника

Многоугольник – это такая замкнутая ломаная, в которой при каждой вершине всего две смежные стороны.

ABCDEF – многоугольник, так как это замкнутая ломаная у которой несмежные звенья не имеют общих точек.

А₁А₂… А₇ не является многоугольником, так как это не замкнутая ломаная.

Ломаная RIJYKCY не является многоугольником несмотря на то, что это замкнутая ломаная, так как при вершине Y три смежные стороны: JY, YR, YC, и при вершине К (R) также три смежные стороны.

А вот ломаная RIJYCK уже является многоугольником, так как при каждой ее вершине всего две смежные стороны. Отрезок KY, который можно провести внутри этой ломаной будет называться диагональю.

Ломаная RIJYCK – многоугольник

Определение многоугольника

Также многоугольник определяют, как замкнутую ломаную без самопересечений. Т.е. многоугольник– это замкнутая ломаная, несмежные стороны которой не имеют общих точек.

Ломаная ABCDE(F) не является многоугольником несмотря на свою замкнутость, так как ее несмежные стороны CD и АВ имеют общую точку (точку их пересечения М).

Ломаная с самопересечением

Определение сторон многоугольника

Стороны многоугольника – звенья ломаной.

АВ, ВС, CD, DE, EF (EA) – стороны многоугольника.

Определение соседних вершин многоугольника

Соседние вершины многоугольника – две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне.

А и В – соседние вершины;

А и Е – соседние вершины.

Соседние вершины многоугольника

Определение диагонали многоугольника

Диагональ многоугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины.

АС и AD – диагонали многоугольника ABCDEF;

BD и BE – диагонали многоугольника ABCDEF.

СЕ также диагональ многоугольника ABCDEF.

Определение диагонали многоугольника

Определение плоского многоугольника

Плоский многоугольник (или многоугольная область) – это многоугольник, который лежит в одной плоскости. Если не оговаривается отдельно, то подразумевается, что речь идет о плоском многоугольнике.

ABCDE – плоский многоугольник

Внутренняя и внешняя области многоугольника

Любой многоугольник делит плоскость на две части – внутреннюю и внешнюю области многоугольника. Фигуру, состоящую из самой замкнутой ломаной и внутренней области, также называют многоугольником.

На рисунке, внутренняя область многоугольника ABCDE закрашена

n-угольник

n-угольник – многоугольник с n вершинами.

n-угольник имеет n сторон.

На рисунке, многоугольник ABCDEF – 5-ти угольник так как имеет 5 вершин.

Концы ломаной А и F совпадают и образуют одну вершину, которую принято обозначать буквой, соответствующей первой стороне многоугольника. В данной случае буквой А. Тогда сам многоугольник будет обозначаться ABCDE.

Источник

Многоугольник

До сих пор в центре нашего внимания был самый простой из многоугольников — треугольник. В этой главе будем изучать более сложные многоугольники, в основном различные виды четырёхугольников: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Кроме того, в этой главе речь пойдёт о симметрии геометрических фигур, в том числе указанных четырёхугольников. Симметрия играет важную роль не только в геометрии, но и искусстве, архитектуре, технике. В окружающей обстановке мы видим немало симметричных предметов — фасады зданий, узоры на коврах и тканях, листья деревьев.

Многоугольник с n вершинами называется n-угольником; он имеет n сторон. Примером многоугольника является треугольник. На рисунке 151 изображены четырёхугольник ABCD и шестиугольник А₁А₂А₃А₄А₅А₆. Фигура, изображённая на рисунке 152, не является многоугольником, так как несмежные отрезки С₁C₅ и С₂С₃ (а также С₃С₄ и С₁C₅) имеют общую точку.

Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая — внешней областью многоугольника.

На рисунке 153 внутренние области многоугольников закрашены. Фигуру, состоящую из сторон многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.

Источник

Многоугольник

Урок 1. Геометрия 8 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Многоугольник»

На этом уроке мы поговорим о геометрической фигуре, которую называют многоугольником. Уже само слово «многоугольник» указывает на то, что эта фигура имеет много углов.

Давайте посмотрим на следующую фигуру, которая составлена из отрезков AB, BC, CD, DE, EA. Причем смежные отрезки, то есть отрезки AB и BC, BC И CD, CD и DЕ, DE и ЕА, ЕА и АB не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки, например, AB и CD, BC и ED, АЕ и CD, не имеют общих точек. Такую фигуру называют многоугольником.

Точки A, B, C, D и Е называются вершинами этого многоугольника, а отрезки AB, BC, CD, DE и ЕА – его сторонами.

Периметром многоугольника называется сумма длин всех его сторон.

Обратите внимание, что рассматриваемый многоугольник имеет 5 вершин и 5 сторон, а поэтому его называют пятиугольником.

Многоугольник с n вершинами называется n-угольником. N-угольник имеет n сторон.

Треугольник является примером многоугольника. Четырёхугольник и семиугольник также являются примерами многоугольников.

А вот следующая фигура не является многоугольником, так как несмежные отрезки и имеют общую точку.

Вернёмся к многоугольнику, рассматриваемому вначале урока.

А вот отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины, например, AC, BЕ, АD, называется диагональю многоугольника.

Многоугольник разделяет плоскость на две части, а именно, на внутреннюю область многоугольника и на внешнюю.

Следует отметить, что многоугольником также называют фигуру, состоящую из отрезков и внутренней области.

Все многоугольники делят на выпуклые и невыпуклые. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любые две соседние вершины.

А вот если многоугольник лежит по разные стороны хотя бы от одной прямой, проходящей через две соседние вершины, то его называют невыпуклым.

Теперь давайте выясним, чему же равна сумма углов выпуклого n-угольника.

Давайте возьмём выпуклый четырёхугольник и проведём в нем диагональ, Получили два треугольника.

Мы знаем, что сумма углов треугольника равна ста восьмидесяти градусам. А тогда сумма углов выпуклого четырёхугольника равняется сумме углов этих двух треугольников, то есть равняется 180º умножить на 2 и равняется 360º.

Теперь возьмем выпуклый пятиугольник и, проведя в нём две диагонали, разобьём его на три треугольника.

Тогда сумма углов выпуклого пятиугольника равняется .

И возьмем еще, например, выпуклый шестиугольник. Проведём в нем три диагонали.

И получим четыре треугольника. А тогда сумма углов выпуклого шестиугольника будет равна .

Таким образом, мы могли бы продолжать находить суммы углов других выпуклых многоугольников. Но обратите внимание, что в четырёхугольнике четыре стороны и мы его разбили на два треугольника. В пятиугольнике: пять сторон – три треугольника. А в шестиугольнике: шесть сторон – четыре треугольника

То есть в каждом случае получается, что треугольников на два меньше, чем сторон у рассматриваемой фигуры.

На основании этого сделаем вывод: сумма углов выпуклого n-угольника равна , где n – количество сторон (углов).

А теперь давайте решим несколько задач.

Задача. Найти сумму углов выпуклого: а) пятиугольника; б) десятиугольника.

Для того чтобы найти сумму углов выпуклого пятиугольника, мы в полученное выше выражение вместо n подставим 5, выполним вычисления и получим 540º.

а) ;

А вот чтобы найти сумму углов десятиугольника, подставим в выражение вместо n 10:

б) .

Ответ: 540 градусов, 1440 градусов.

Задача. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) ; б) ?

Источник