Что такое правило параллелограмма
Законы сложения сил в механике
При воздействии на одно тело нескольких сил одновременно тело начинает двигаться с ускорением, являющимся векторной суммой ускорений, которые бы возникли под воздействием каждой силы по отдельности. К действующим на тело силам, приложенным к одной точке, применяется правило сложения векторов.
Векторная сумма всех сил, одновременно воздействующих на тело, это сила равнодействующая, которая определяется по правилу векторного сложения сил:
Равнодействующая сила действует на тело также, как и сумма всех действующих на него сил.
Правило параллелограмма и правило многоугольника
Выведем формулу модуля равнодействующей силы с помощью теоремы косинусов:
R → = F 1 → 2 + F 2 → 2 + 2 F 1 → 2 F 2 → 2 cos α
Результат действия силы на материальную точку будет зависеть только от ее модуля и направления. У твердого тела есть определенные размеры. Потому силы с одинаковыми модулями и направлениями вызывают разные движения твердого тела в зависимости от точки приложения.
Линией действия силы называют прямую, проходящую через вектор силы.
Разложение вектора силы по направлениям
Три силы F 1 → = 1 Н ; F 2 → = 2 Н ; F 3 → = 3 Н приложены к одной точке, находятся в одной плоскости (рисунок 6 а ) и составляют углы с горизонталью α = 0 ° ; β = 60 ° ; γ = 30 ° соответственно. Необходимо найти равнодействующую силу.
Решение
Модуль равнодействующей определим с помощью теоремы Пифагора:
Направление равнодействующей найдем при помощи угла между равнодействующей и осью (рисунок 6 в ):
Сила F = 1 к Н приложена в точке В кронштейна и направлена вертикально вниз (рисунок 7 а ). Необходимо найти составляющие данной силы по направлениям стержней кронштейна. Все необходимые данные отображены на рисунке.
Решение
Дано:
F 1 → = F t g β ≈ 577 Н ;
Сложение векторов по правилу параллелограмма
Правило параллелограмма — что это такое
Чтобы сложить два вектора можно воспользоваться правилом параллелограмма.
Правило параллелограмма: если два неколлинеарных вектора a и b привести к общему началу, то вектор c=a+b совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах a и b. Начало вектора c совпадает с началом этих векторов.
Кроме того, по правилу параллелограмма можно осуществлять вычитание.
Сложение векторов по правилу параллелограмма
Для того чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, необходимо:
Также существуют еще два правила нахождения векторной суммы:
1. Правило треугольника.
Чтобы сложить два вектора, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор и построить вектор, который соединит начало первого с концом второго. Полученный вектор — искомая сумма.
2. Правило многоугольника.
Чтобы сложить несколько векторов, нужно от произвольной точки отложить первый вектор, из его конца — второй вектор, из конца второго — третий, и так далее. Затем соединить начальную точку с концом последнего вектора, полученный вектор — искомая сумма.
Переместительный и сочетательный законы, доказательство
Для более ясного понимания правила параллелограмма, важно знать законы сложения векторов.
Переместительный закон: от перемены мест слагаемых сумма не меняется a+b=b+a.
От произвольной точки A отложим векторы AB=a и AD=b.
Построим параллелограмм ABCD.
По правилу треугольника заметим: AC=AB+BC, то есть равен сумме векторов a+b.
С другой стороны, AC=AD+DC, AC=b+a.
Что и требовалось доказать.
Именно переместительный закон применяется в правиле параллелограмма.
Сочетательный закон: (a+b)+c=a+(b+c).
От произвольной точки A отложим вектор AB=a, от точки B вектор BC=b, от точки C вектор CD=c.
Запишем сумму (a+b)+c через векторы:
Сумма AB+BC=AC (по правилу треугольника).
Запишем сумму a+(b+c) через векторы:
Что и требовалось доказать.
Примеры решения задач
Дан параллелограмм, построенный на векторах AB=6 см, BC=8 см. ∠B=90º. Найти сумму векторов AB+BC.
По правилу параллелограмма сумма векторов AB+BC=BD.
BD-диагональ параллелограмма. Диагональ можно найти по формуле:
ABCD — прямоугольник, так как ∠B=90º ⇒cosB=0.
Сложение векторов — свойства, правила и примеры решения задач
Отрезок, который имеет направление, называется вектором. По сути, эта линия, характеризующаяся определённой длиной. Так как с математической точки зрения это выражение, то с ним можно выполнять различные операции. Простейшими являются действия вычитания двух и более векторов и их сложение. Выполняются они по правилам геометрии и алгебры.
Общие сведения
Понятие вектор используется как в физике, так и в математике. С его помощью обозначают действие различных сил, указывают их направление, определяют движение. По сути, это величина, противопоставляемая массе, объёму, плотности, температуре, то есть «скалярам». Согласно определению вектор — это отрезок, имеющий строгое направление. Точку, из которой он выходит, называют начальной, а в которой заканчивается — конечной.
Обозначают отрезок помощью заглавных латинских букв, сверху которых ставится чёрточка. Рисуют же его с помощью прямой ограниченной линии.
Например, запись AB обозначает, что точка A является началом, а B концом. В некоторых случаях для кратности отрезки допустимо обозначать одной маленькой буквой, так: AB = a.
Векторная запись используется тогда, когда невозможно величины описать с помощью одного числа. Численное значение выражение определяется длиной отрезка или его модулем. Эта величина является скалярной. В том случае если начало и конец ограниченной линии совпадают, то говорят о нулевой линии. Обозначают её цифрой 0.
Векторы, расположенные на плоскости или в пространстве, по отношению друг к другу могут быть:
Так как вектора — это выражения, то с ними можно выполнять различные действия. Их возможно складывать, вычитать, умножать на число. При работе с векторными величинами используют декартовую систему координат. В ней прямую замкнутую линию раскладывают по базису и определяют координаты её точек. Другими словами, выполняют проекции отрезков на оси. Непосредственно за базис берут орты.
Если известны начальные координаты и конечные, то текущие вычисляют путём вычитания из последних первые. Существующая возможность записать любое геометрическое свойство, используя координаты, позволяет отойти от геометрии и использовать для вычислений алгебру.
Сложение координат
Существует простое правило применимое для направленных отрезков и позволяющее найти их сумму. Заключается оно в следующем: если необходимо прибавить один вектор к другому описывающийся каждый своими координатами, достаточно сложить соответствующие их орты. Например, предположим есть два вектора a и b. Первый отрезок имеет координаты (ax; ay), а второй (bx;by). При их сложении получится новый вектор c. В результате действия его координаты будут c (ax + bx; ay + by).
Это теорема доказывается просто. Пусть даны отрезки f (x 1; y 1) и g (x 2; y 2). В системе координат относительно рассматриваемых векторов получится: f = x 1 a + y 1 b; g = x 2 a + y 2 b. Тогда искомая сумма будет: f + g = x1a + y1b + x2a + y2b = a (x 1 + x 2) + b (y 1 + y 2). Что и нужно было доказать. Это правило применимо к векторам имеющим любые координаты. Например, пусть есть a (1; 2), b (-3; 1). Нужно найти их сумму. С помощью формулы сложения получится новый направленный отрезок с координатами a + b = (1 — 3; 2 + 1) = (-2; 3).
Как и при операциях с простыми числами при работе с векторными выражениями используют различные их свойства. Существует три правила сложения векторов:
Следует отметить, что при сложении двух противоположных ограниченных прямых сумма будет равняться нуль-вектору: a + (-a) = 0. Это утверждение не требует доказательства, так как здесь используется фундаментальный закон алгебры — правило знаков.
Правило параллелограмма
По сути, все операции с векторными выражениями сводятся к их приращению или уменьшению. Если координаты точек неизвестны, то алгебраический метод складывания не подходит. В таком случае используют геометрические операции. Одним из способов, позволяющих сложить два неколлинеарных вектора, является правило параллелограмма или прямоугольника при перпендикулярном направлении складываемых отрезков.
Сформулировать способ можно следующим образом: если имеются два отрезка не лежащие на параллельной прямой и не принадлежащие ей, то нужно достроить данные вектора до параллелограмма. Для этого необходимо взять произвольную точку и отложить от неё отрезок AB равный первому вектору, и AD совпадающий со вторым. При этом необходимо придерживаться соотношения геометрии наклона. Затем достроить необходимые параллельные прямые таким образом, чтобы образовался параллелограмм ABCD. Если в такой фигуре провести диагональ, то её длина и будет равняться сумме складываемых отрезков.
Доказать правильность утверждения можно следующими доводами. Пусть имеются две ограниченные линии a и b. От точки A можно отложить первый отрезок конец, которого обозначить как B, и второй, с точкой D. Теперь через D и B возможно провести соответственно параллельные прямые AB и AD. Место, в которой они пересекутся, пусть будет обозначено как С. Тогда используя признак параллельности двух пар прямых в фигуре ABCD, можно утверждать, что это параллелограмм. Вектор AC = a + b. Это следует из равенства отрезков AD = BC и теоремы о подобных треугольниках.
Пример задания. Определить, чему равна сумма двух отрезков длиной 2 см и 1 см расположенные друг к другу под углом 45. Для того чтобы воспользоваться правилом, нужно взять листочек в клеточку и построить два вектора, исходящие из одной точки O. Тогда первый отрезок будет OA, а второй OB. Затем достроить прямые таким образом, чтобы на рисунке получился параллелограмм. Новая полученная точка пусть будет D. Теперь с помощью линейки можно измерить диагональ фигуры, длина которой и будет искомой суммой. В ответе должно получиться, что OA + OB = OD = 3 см.
Простыми словами это правило можно рассказать так: сумма двух отрезков будет равняться диагонали параллелограмма, построенного на исходных векторах. Эта теорема чаще используется не в геометрии, а физике, например, при сложении сил.
Альтернативные методы
Операцию по сложению двух векторов можно выполнить и с помощью правила треугольника. Делается это так. Выбирается любая точка на плоскости, от которой откладываются два вектора. При этом необходимо соблюдать их размерность и наклон по отношению друг к другу. Затем две конечные точки соединяют прямой. Её длина и будет искомой величиной. То есть в итоге должна получиться равнобедренная фигура.
Применение метода сложения векторов по правилу треугольника позволяет довольно легко находить сумму для трёх и более отрезков. Для этого сначала вычисляют результат сложения для двух любых линий, а после прибавляют к полученной ограниченной прямой третью и так далее.
При сложении нескольких векторов удобно выполнять следующую последовательность построений:
Этот способ получил название метод многоугольника. Он довольно часто применяется на практике, позволяя, довольно просто выполнить нахождение суммы. Из правила треугольника, а, следовательно, и многоугольника, вытекает следствие, которое подтверждает, что если складывается отрезок с нулевым векторным выражением, то в ответе получится длина, совпадающая со значимым слагаемым.
Следует отметить, что методы используются только, если направление отрезков является сонаправленным.
Если же отрезки неколлинеарные, то от конца одного откладывается другой. Тогда искомая сумма будет равняться длине линии, первой точкой которой будет начало одной векторной прямой, а конец совпадать с точкой, завершающей другую. То есть сумма — это отрезок, начало которого совпадает с началом обеих линий, а длина равна разности их длин, при этом направление его будет совпадать с тем что больше по длине.
Сложение векторов
Часть математических и физических задач содержит необходимость математических действий с векторами (сложение и вычитание).
Способ 1. Метод сложения треугольником
Возьмём необходимые вектора и параллельным переносом совместим конец первого вектора ( ) и начало второго ( ) (рис. 1)
Рис. 1. Сложение векторов (правило треугольника)
Тогда вектор, соединяющий начальную точку первого вектора ( ) и конец второго ( ), является вектором ( ).
Способ 2. Метод сложения параллелограммом
Возьмём необходимые вектора и параллельным переносом совместим начало первого вектора ( ) и начало второго ( ) (рис. 2). Параллельным переносом совместим конец каждого вектора с началом другого.
Рис. 2. Сложение векторов (правило параллелограмма)
Тогда вектор, соединяющий общую начальную точку первого ( ) и второго ( ) векторов и общий конец данных векторов, является вектором суммы ( ).
Вывод: в ряде задач, где присутствуют несколько однородных векторных физических величин, часто необходимо найти общий вектор (общую скорость, равнодействующую силу, полный вектор магнитной индукции или электрической напряжённости поля). Тогда необходимо сначала сложить вектора, а потом найти модуль получившегося вектора.Чаще всего первый метод используется в кинематике (сложение скоростей). Второй метод часто используют в динамике.
Как складывать векторы
Сложив два вектора, в результате получим новый вектор.
Векторы могут располагаться один относительно другого:
Складываем параллельные векторы
Если векторы параллельны, складывать так:
Примечание:
В этом уравнении над буквами используются значки векторов. Эти значки указывают на то, что действия выполняются с помощью геометрии. То есть, учитывается направление векторов.
Важно! Любое выражение, записанное в векторном виде, учитывает направление векторов.
Это можно пояснить так:
Если векторы направлены в противоположные стороны, то результат сложения будет сонаправлен с более длинным вектором.
Складываем не параллельные векторы
Если векторы не параллельны (см. рис. ), для их сложения пользуются одним из двух правил:
Примечание:
Правило параллелограмма удобно применять к векторам, выходящим из одной общей точки (начала векторов совмещены).
Правило треугольника
К концу первого вектора приложить начало второго вектора
Из свободного начала к свободному концу провести вектор
Правило параллелограмма
Совместить начала векторов
Провести пунктиры, чтобы получить параллелограмм
Из точки, в которой находятся начала провести диагональ
Как вычитать векторы
Вычтем один вектор из второго вектора. В результате получим новый вектор.
Вычитание заменяют сложением. Складывают вектор с противоположно направленным вектором.
Складываем и вычитаем векторы, используя их координаты
Когда известны координаты двух векторов, сложение или вычитание провести достаточно легко. Для этого нужно сложить или вычесть соответствующие координаты векторов.
Для удобства обычно выписывают один вектор под другим.
Примеры сложения векторов в физике
Напоминание:
Складывать и вычитать можно только те векторы, которые имеют одинаковую размерность. То есть, длина которых измеряется в одинаковых единицах.
Рассмотрим формулу связи между начальной и конечной скоростями при равноускоренном движении
\( \vec
Примечания:
— Скорость всегда направлена в ту сторону, в которую тело движется (в направлении движения тела).
— Ускорение направлено в сторону действия силы (из второго закона Ньютона).
Обратите внимание: Направление силы не всегда будет совпадать с направлением, в котором тело двигалось изначально.
Силу можно направить в любую сторону. Она будет толкать или тянуть тело в ту сторону, в которую она направлена. Поэтому, конечная скорость \( \vec
Векторы складывают с помощью геометрии, то есть, учитывают их направления.
Поэтому, формула \( \vec